Baris dan Deret Aritmatik

(1) 3, 7, 11, 15, 19, ...
(2) 30, 25, 20, 15, 10,...

Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.
Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U1, U2, U3,....disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
3, 7, 11, 15, 19, ...
Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka
U1 = 3 =+ 4 (0)

U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
....
Un = 3 + 4(n-1)

Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan

Un = a + b(n-1)

Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.

U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n
Deret Aritmatika

Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U1, U2, U3, ... barisan aritmetika. U1, U2, U3, ... adalah deret aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah :

Gambar:58.jpg

Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah

Gambar:59.jpg

Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah
Gambar:60.jpg

jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah
Gambar:61.jpg

Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus Gambar:62.jpg b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus Gambar:63.jpg

sifat2 operasi hitung

1. Sifat Komutatif

Seperti yang telah kamu ketahui, sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan penjumlahan berikut.
2 + 4 = 6
4 + 2 = 6
Jadi, 2 + 4 = 4 + 2.
Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada penjumlahan.
Sekarang, coba perhatikan perkalian berikut.
2 × 4 = 8
4 × 2 = 8
Jadi, 2 × 4 = 4 × 2.

Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada perkalian. Apakah sifat komutatif berlaku pada pengurangan dan pembagian?
Perhatikan contoh berikut.
a. 2 – 4 = –2 dan 4 – 2 = 2
Jadi, 2 – 4 tidak sama dengan 4 – 2, atau 2 – 4 ≠ 4 – 2.
b. 2 : 4 = 0,5 dan 4 : 2 = 2
Diperoleh bahwa 2 : 4 tidak sama dengan 4 : 2, atau 2 : 4 ≠ 4 : 2
Jadi, pada pengurangan dan pembagian tidak berlaku sifat komutatif.

Ayo Berlatih 1

2. Sifat Asosiatif

Pada penjumlahan dan perkalian tiga bilangan bulat berlaku sifat asosiatif atau disebut juga sifat pengelompokan. Perhatikanlah contoh penjumlahan tiga bilangan berikut.
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
Jadi, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).
Sifat seperti ini dinamakan sifat asosiatif pada penjumlahan.
Sekarang, coba perhatikan contoh perkalian berikut.
(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Sifat ini disebut sifat asosiatif pada perkalian.

Ayo Berlatih 2

3. Sifat Distributif

Selain sifat komutatif dan sifat asosiatif, terdapat pula sifat distributif. Sifat distributif disebut juga sifat penyebaran. Untuk lebih memahaminya, perhatikanlah contoh berikut.
Contoh 1
Apakah 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5)?
Jawab:
3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27
(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27
Jadi, 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5).

Contoh 2
Apakah 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5)?
Jawab:
3 × (4 – 5) = 3 × (–1) = –3
(3 × 4) – (3 × 5) = 12 – 15 = –3
Jadi, 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5).
Contoh 1 dan Contoh 2 menunjukkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan.

Ayo Berlatih 3

4. Menggunakan Sifat-Sifat Operasi Hitung

Sifat distributif dapat kamu gunakan pada perkalian dua bilangan. Pada perkalian tersebut, salah satu bilangannya merupakan bilangan yang cukup besar. Agar kamu lebih memahaminya, coba pelajari contoh-contoh berikut.
Contoh 1
a. 8 × 123 = ...
b. 6 × 98 = ...
Jawab:
a. 8 × 123 = 8 × (100 + 20 + 3)
= (8 × 100) + (8 × 20) + (8 × 3)
= 800 + 160 + 24 = 984
Jadi, 8 × 123 = 984.

b. 6 × 98 = 6 × (100 – 2)
= (6 × 100) – (6 × 2)
= 600 – 12
= 588
Jadi, 6 × 98 = 588.
Contoh 2
a. (3 × 46) + (3 × 54) = ....
b. (7 × 89) – (7 × 79) = ....
Jawab:
a. (3 × 46) + (3 × 54) = 3 × (46 + 54)
= 3 × 100
= 300
Jadi, (3 × 46) + (3 × 54) = 300.
b. (7 × 89) – (7 × 79) = 7 × (89 – 79)
= 7 × 10
= 70
Jadi, (7 × 89) – (7 × 79) = 70.

Ayo Berlatih 4

Jangan Tanyakan Lulusan Mana tapi Tanyakanlah Bagaimana Manajemen Belajarnya

“ lulusan mana?”
“oh wajarlah gajinya besar, dia kan lulusan universitas keren itu. Siapa sih yang tak kenal hasil lulusan universitas itu pasti diterima kerja langsung dengan gaji yang lumayan besar.”
“ tidak, kamu salah sangka. Dia hanya lulusan universitas B.”
“ah masak? Tapi hidup dia berhasil. Dia sukses.”
Begitulah, cuplikan penggalan kalimat tentang suatu kehidupan. Terkadang kita tertipu oleh lambing tapi kita tidak tahu bagaimana kualitas lulusan. Terkadang manusia lebih menyukai pamor dan lebih pada sosok suatu universitas.
Seharusnya yang ditanyakan itu adalah bagaimana dia bisa sukses,bukan kita tanyakan universitas mana dia menuntut ilmu. Pada hakikatnya, memang suatu universitas itu melambangkan kualitas seperti adanya akreditas suatu lembaga universitas. Jika akreditas A, B+,B maka itu artinya universitas itu sangat baik dan akan menghasilkan tenaga-tenaga professional.
Tapi bagi saudaraku yang hanya mampu kuliah di universitas yang akreditas kurang dari B, jangan bersedih tetaplah untuk belajar. Dengan anda menyusun kembali manajemen belajar, maka akan ada kemungkinan kualitas anda meningkat dengan sendirinya sesuai dengan efektif dan efisien belajar anda.
Maka, tetaplah belajar. Tingkatlah sendiri akreditas anda serta kualitas anda sehingga anda menjadi tenaga-tenaga professional.
Good luck

Kisah Sang Pengrajin Keset Kaki

Saya ingat sewaktu KUKERTA, saya berkenalan dengan seorang nenek yang selalu bersenyum padahal hidupnya hanya seorang diri. Dia sudah berumur 80 an tahun. Anak-anak nya meninggalkannya digubuk tua dari papan yang sudah hampir lapuk. Karena hidup seorang diri maka melengkapi kehidupan nya sehari-hari ia membuat keset kaki.

            Orang tua itu rela ditinggalkan anaknya dengan alasan ia tidak mau hidup numpang anak kandung sendiri. Ia merasa masih sanggup memenuhi hidupnya sendiri. Ia tidak mau hari tuanya menyusahkan anaknya. Saya ingat beliau pernah berkata “ orak opo opo ditinggal anak, nduk. Aku moh nganggu rumah tangga anakku.” Begitulah beliau selalu tidak ingin menyusahkan orang-orang sekelilingnya.

            Harga keset itu cukup murah hanya 3000 rupiah. Cukup unik keset tersebut karena berbentuk bermacam-macam bahkan bervariasi motif. Ia rela menghabiskan waktu untuk membuat keset, mulai dari ia mengumpulkan baju bekas yang tidak terpakai. Selanjutnya dengan tangan keriputnya ia gunting kecil-kecil baju bekas tersebut. Dengan lunglai tangan itu mulai menjahit. Akhirnya dengan bantuan kaca matanya, selesai juga satu persatu keset kaki.

            Terkadang saat mata nya tidak was-was lagi, jarum nakal itu tega menggores tangan muncil keriput itu. Terucaplah “asstafirullahi ‘al adzin”. Ia isap tangan yang luka itu. Setelah berhenti darah yang keluar maka ia lanjutkan menjahitnya. Sungguh orang yang luar biasa.

            Itulah gambaran kehidupan. Terus bagaimana dengan kita, pemuda Indonesia. Akankah kita kalah semangat dengan nenek tua itu. Apa kurangnya kita dengan nenek itu? Mengapa kita kalah dengan nenek tersebut? Dimana salahnya?

            Hai, pemuda-pemudi janganlah engkau kalah dengan nenek-nenek. ia telah mengalami kekurangan pendengaran, penglihatan, dan kekuatan  sedangkan engkau adalah yang tidak mengalami semua kekurangan itu. Fisikmu kuat, pendengaran dan penglihatanmu bagus. Terus mengapa engkau hanya berdiam diri saja dirumah? Engkau hanya mengharapkan belaskasih orangtua. Mana prestasimu?

            Sedangkan kekuatan suatu Negara itu ada pada pemudanya. Harapan suatu bangsa terletak ditangan pemudanya. Maukah kita dijajah lagi? Maukah kita dijadikan budak? Tentunya tidak. Hayoo, bangun. Lihat kiri kanan, depan belakang, atas bawah! Teruslah mengejar cita-cita, engkaulah pemimpin Indonesia kedepan. Siapa lagi kalau bukan engkau?!

Wassalam

Kunci Kesuksesan

Jadikan hidup kita seperti air. Air itu mengalir dari tempat yang rendah ketempat yang tinggi, terus mengalir hingga ia bermuara pada muara besar. Namun jika dalam airan air akan bermuara  pada air limbah dan kotoran maka berusahalah untuk   arus walaupun itu sulit.

            Teruslah berusaha karena Allah tidak akan merubah takdir manusia jika manusia itu tidak mengubahnya. Maka di sini manusia dituntut untuk berusaha mengubah takdirnya walaupun begitu banyak cobaan, godaan, halangan bahkan duri-duri kecil ;yang tak terlihat oleh mata; siap untuk menusuk kaki kita.

            Itulah kehidupan, jika manusia menginginkan kehidupan yang sukses maka ia harus berusaha keras dan disambil berdoa kepada Allah tuk semua kesuksean yang ingin diraih itu. Kesabaran dalam menghadapi cobaan itulah kunci pertama, kunci gembok kedua adalah usaha. Usaha, selalulah untuk berusaha, niatkan usaha karena Allah sehingga apapun masalah yang dihadapi akan terasa seperti tantangan.

            Masih ingat kisah kopi, gula dan air  telaga? Secangkir air akan terasa pahit jika dicampurkan sesendok kopi dan secangkir air akan terasa manis jika dicampurkan sesendok gula. Nah, bagaimana kalau sepuluh sendok kopi dicampurkan dalam air telaga  maka air telaga itupun tidak akan terasa pahit begitu juga sepuluh sendok gula dicampurkan dalam air telaga maka air telaga itu tidak akan menjadi manis.

            Itulah kehidupan kita, dalam menggapai kesuksesan maka jadikanlah hati dan pikiran kita seperti air telaga sehingga bisa lebih berkonsentrasi pada kesuksean yang ingin dicapai. Jangan ikuti perasaan kita yang sedih, putus asa, marah, kesal, iri dan dengki. Tetaplah semangat untuk menggapai apa yang di inginkan.

            Curhatlah pada Allah pada tengah malam, menangislah karena Dialah yang memberikan kita masalah. Allah memberikan masalah sesuai dengan kemampuan manusia. Jangan bersedih, Allah akan menyesaikan masalah manusia dengan caraNya sendiri dengan berjalannya waktu maka semua masalah itu terjawab dengan sendiri. Jangan berpikir di dalam kotak, pikirkanlah di luar kotak dari masalah yang dihadapi itu.

wassalam

Tiada Yang Abadi

Kehidupan itu terdiri dari lahir-mati, malam-siang, tinggi-pendek, senang-sedih, perempuan-laki laki, jahat-baik, atas-bawah, miskin-kaya, serta dating-pergi. Tanpa penyedap itu, bukan namanya kehidupan. Siapa yang tidak sedih ditinggal kekasihnya baik ibu, bapak, suami, istri, anak serta orang terkasih lainnya. Tapi itulah kehidupan semuanya tiada yang abadi seperti surat Ar Rum ayat 64

“ dan dalam kehidupan dunia ini hanya senda gurau dan permainan. Dan sesungguhnya negeri akhirat itulah kehidupan yang sebenarnya, sekiranya mereka mengetahuinya.”

Sesuatu yang menyakitkan kehilangan mereka seperti dunia terasa terhimpit. Jangan bersedih, Allah bersama kita.

           Seandainya kita bisa bersabar, tegar, kuat dan kokoh maka kita tidak akan merasakan kehilangan. Ingatlah bahwa kita ini miliki Allah begitu juga makhluk yang lainnya didunia ini. Mengapa kita harus bersedih jika Dia mengambilnya? Itukan milikinya. Kita hanya dititipkan Allah semua itu.

           Saudaraku, allah tidak akan membuat kita sebagai makhluknya merasa tertekan karena Dia sangat sayang dengan kita. Sudah berapa nikmat Allah yang kita gunakan? Adakah Allah memintanya kembali kepada kita? Dari kita dalam kandungan, allah maha tahu kalau kita tidak bisa apa-apa, makanya kita di titipnya di rahim ibu kita. Saat kita sudah lahir, kita tidak bisa apa-apa, Allah menitipkan kita pada orangtua kita serta saudara-saudara kita agar kita dididik, dirawat, dipelihara. Selanjutnya,  ketika kita sudah dewasa Allah merasa kita membutuhkan pasangan hidup, maka Allah memberikan kita pasangan hidup yang Sholeh/a.  Lalu kurang apakah Allah?

           Belum lagi nikmat hidup, adakah Allah meminta bayar atas oksigen yang Dia berikan ke kita? Semua itu gratis. terus bagaimana dengan saudara kita dirumah sakit, mereka harus membayar oksigen itu. Begitu juga dengan air sebagai sumber kehidupan kita, Allah meciptakan sumber mata air untuk kita. Lalu Allah juga menundukkan langit dan bumi untuk kita.

           Jadi saudarku, bersabarlah. Janganlah engkau bersedih karena Dia mengambil miliknya walaupun milik Nya itu adalah orang-orang terkasih kita. Bersabarlah, istifarlah, mendekatlah dan berserah dirilah padaNya.

“  dan barang siapa yang berserah diri pada Allah, sedang dia berbuat suatu kebaikan, maka sesungguhnya dia telah berpegang pada tali yang kokoh. Hanya kepada Allah kesudahan segala urusan.”( Lukman ayat 22)

Berserah dirilah padaNya karena semua kisah itu ada akhirnya maka serahkanlah kisah kehidupanmu pada Nya. Waktu akan menjawab semua itu.

wassalam

kisah Penggugah iman